四种迷宫生成算法的实现和可视化

（上图是使用随机化Prim算法生成一个200x200的迷宫的过程）

Github项目地址：maze

前言

本文中的迷宫指的是最常见的那种迷宫：迷宫整体轮廓是二维矩形，迷宫里的格子是正方形的，格子上下左右各相邻另外一个格子（边和角除外），迷宫内部没有环路，也没有无法到达的格子，起点在一个角（本文中为左上角），终点在另一个角（本文中为右下角），从起点到终点有且仅有一条路径：

每个格子都可以抽象成图上的一个点，而相邻且连通的格子间的路径可以抽象成图像的一个边，不难发现这实际上是一棵树。

常见的迷宫生成算法有4种：深度优先算法、随机化Kruskal算法、随机化Prim算法和递归分割算法。对这4种算法再分类可以分为2类：前3种归为一类，最后1种自成一类。为什么我在这里将前3种归为一类呢？因为前3种算法有着相似的流程：

将所有相邻格子连接起来，形成一个无向图G={V,E}。构造G的一个子图G'={V',E'}，G'要求是一颗树，且V'=V

前3种算法的不同之处在于第2步构造G'时所使用的方法不同。

数据结构

前面我们已经看到了，迷宫可以抽象为一颗树，在此我们使用邻接表来存储树，邻接表类AdjacencyList定义如下（省略了实现和非关键代码）：

class AdjacencyList

{

public:

AdjacencyList(int row = 0, int column = 0);

void connect(int i, int j);

void disconnect(int i, int j);

int row() const { return m_row; }

int column() const { return m_column; }

std::vector &neighbor(int i);

std::vector &surround(int i);

private:

int m_row;

int m_column;

std::vector> m_index2neighbor;

std::vector> m_index2surround;

};

迷宫中的格子抽象成的点按照从左向右，从上向下进行编号，row()和column()用来获得迷宫的大小，connect()用来连接两个相邻的点，disconnect()用来断开两个连接的点，neighbor()用来获取与某个点相连接的点，surround()用来获取与某个点相邻（不一定连接在一起）的点。

深度优先算法

算法过程图示：

使用深度优先算法构造得到的G'实际上就是G的深度优先搜索树，与普通的深度优先算法不同的是，选择下一个要染灰的点时需要加入一些随机性，否则迷宫每次都会生成得一摸一样。算法代码为：

AdjacencyList DeepFirstSearch::generate()

{

enum Color

{

White,

Gray,

Black

};

AdjacencyList result(m_row, m_column);

vector color(static_cast(m_row * m_column), White);

vector current;

current.reserve(static_cast(m_row * m_column));

color[0] = Gray;

current.push_back(0);

while (current.size())

{

int last = current.back();

random_shuffle(result.surround(last).begin(), result.surround(last).end());

auto iter = result.surround(last).cbegin();

for (; iter != result.surround(last).cend(); iter++)

{

if (color[static_cast(*iter)] == White)

{

color[static_cast(*iter)] = Gray;

result.connect(last, *iter);

current.push_back(*iter);

break;

}

}

// all adjacent points are found

if (iter == result.surround(last).cend())

{

current.pop_back();

color[static_cast(last)] = Black;

}

}

return result;

}

随机化Kruskal算法

算法过程图示：

Kruskal原本是构造最小生成树的算法，但迷宫中的边都没有权重（或者说权重都是0），因此在把新边加入树中时随机选择一个就可以。在选择边时需要引入随机性，否则每次都会得到相同的结果。算法代码为：

AdjacencyList Kruskal::generate()

{

AdjacencyList result(m_row, m_column);

UnionFind uf(m_row * m_column);

vector> edges;

for (int i = 0; i < m_row * m_column; i++)

{

for (auto iter : result.surround(i))

{

// avoid duplicate edge

if (i > iter)

{

edges.push_back(pair(i, iter));

}

}

}

random_shuffle(edges.begin(), edges.end());

for (auto iter : edges)

{

if(!uf.connected(iter.first, iter.second))

{

uf.connect(iter.first, iter.second);

result.connect(iter.first, iter.second);

}

}

return result;

}

随机化Prim算法

算法过程图示：

Prim同样是构造最小生成树的算法，注意事项和Kruskal相同。算法代码为：

AdjacencyList Prim::generate()

{

AdjacencyList result(m_row, m_column);

vector linked(static_cast(m_row * m_column), false);

linked[0] = true;

set> paths;

paths.insert(pair(0, 1));

paths.insert(pair(0, m_column));

static default_random_engine e(static_cast(time(nullptr)));

while (!paths.empty())

{

// random select a path in paths

int pos = static_cast(e() % paths.size());

auto iter = paths.begin();

advance(iter, pos);

// connect the two node of path

result.connect(iter->first, iter->second);

// get the node not in linked

int current = 0;

if (!linked[static_cast(iter->first)])

{

current = iter->first;

}

else

{

current = iter->second;

}

// add the node to linked

linked[static_cast(current)] = true;

// add all not accessed path to paths, and delete all invalid path from paths

for (auto i : result.surround(current))

{

pair currentPath = makeOrderedPair(i, current);

if (!linked[static_cast(i)])

{

paths.insert(currentPath);

}

else

{

paths.erase(paths.find(currentPath));

}

}

}

return result;

}

递归分割算法

算法过程图示：

如果说前面3种算法是通过“拆墙”来构造迷宫，那么递归分割算法就是通过“建墙”来构造迷宫了。在当前要处理的矩形中随机选择一个点，然后以这个点为中心向上下左右4个方向各建一堵墙，其中3堵墙都要留门，不然就会出现无法到达的区域。对被这4堵墙划分成的4个矩形递归执行这个过程，就能得到一个迷宫。算法代码为：

AdjacencyList RecursiveDivision::generate()

{

AdjacencyList result(m_row, m_column);

result.connectAllSurround();

divide(result, 0, 0, m_column - 1, m_row - 1);

return result;

}

void RecursiveDivision::divide(AdjacencyList &list, int left, int top, int right, int bottom)

{

// the x range of input is [left, right]

// the y range of input is [top, bottom]

if ((right - left < 1) || (bottom - top < 1))

{

return;

}

static default_random_engine e(static_cast(time(nullptr)));

int x = static_cast(e() % static_cast(right - left)) + left;

int y = static_cast(e() % static_cast(bottom - top)) + top;

vector> toDisconnect;

for (int i = left; i <= right; i++)

{

int p = y * m_column + i;

int q = (y + 1) * m_column + i;

toDisconnect.emplace_back(p, q);

}

for (int i = top; i <= bottom; i++)

{

int p = i * m_column + x;

int q = i * m_column + x + 1;

toDisconnect.emplace_back(p, q);

}

// the position of no gap wall relative to (x, y), 0:top 1:bottom 2:left 3:right

int position = e() % 4;

int gapPos[4] = {0};

// get the gap position

gapPos[0] = static_cast(e() % static_cast(y - top + 1)) + top;

gapPos[1] = static_cast(e() % static_cast(bottom - y)) + y + 1;

gapPos[2] = static_cast(e() % static_cast(x - left + 1)) + left;

gapPos[3] = static_cast(e() % static_cast(right - x)) + x + 1;

for (int i = 0; i <= 3; i++)

{

if (position != i)

{

int p = 0;

int q = 0;

if (i <= 1) // the gap is in top or bottom

{

p = gapPos[i] * m_column + x;

q = gapPos[i] * m_column + x + 1;

}

else // the gap is in left or right

{

p = y * m_column + gapPos[i];

q = (y + 1) * m_column + gapPos[i];

}

pair pair(p, q);

toDisconnect.erase(find(toDisconnect.begin(), toDisconnect.end(), pair));

}

}

for (auto &pair : toDisconnect)

{

list.disconnect(pair.first, pair.second);

}

divide(list, left, top, x, y);

divide(list, x + 1, top, right, y);

divide(list, left, y + 1, x, bottom);

divide(list, x + 1, y + 1, right, bottom);

}

参考链接

Maze generation algorithm：https://en.wikipedia.org/wiki/Maze_generation_algorithm